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뫼비우스의 띠 - 안과 밖이 구분되지 않는 그 모호함

작성일2012.06.29

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작성자 : 기자단

 

“학생들이 유일하게 신뢰하는 수학교사가 들어간다. 그는 책을 들고 있지 않다. 그는 이 마지막 수업시간에 시험과는 상관없는 질문을 한다. 두 아이가 굴뚝청소를 한다. 청소를 마친 후 한 아이는 얼굴이 새까맣고 한 아이는 얼굴이 깨끗하다. 어느 쪽의 아이가 얼굴을 씻을 것 같나 얼굴이 더러운 아이입니다. 틀렸다. 얼굴이 더러운 아이는 다른 아이를 보고 자신도 얼굴이 깨끗하다고 생각하기 때문에 씻지 않는다.

 

학생들은 탄성을 지른다. 교사는 같은 질문을 다시 한다. 학생들은 이미 답을 알기 때문에 쉽게 말한다. 얼굴이 깨끗한 아이입니다. 그러나 교사는 틀렸다, 고 말한다. 의아한 학생들은 왜냐고 묻는다. 똑같이 굴뚝청소를 했다면 한 아이는 얼굴이 깨끗하고 한 아이는 얼굴이 더러울 수 없다. 둘 다 얼굴이 더러워야 한다. 그리고는 칠판에<뫼비우스의 띠>라고 쓴다.” - 조세희 ‘뫼비우스의 띠’ 中

 

영현대 8기가 되어 처음으로 들었던 생각이 바로 이 뫼비우스의 띠였다. 8자를 눕히면 ∞가 되고 무한대 모양은 흡사 뫼비우스의 띠를 닮았기 때문이다. 누워있는 8자 처럼 무한한 가능성을 가지고 있는 영현대 8기 여러분들을 생각하며 이 기사를 쓰게 되었다.

 

 

 

 

 

뫼비우스의 띠

 

 

면에는 안과 겉이 있다. 종이는 양면을, 지구는 내부와 외부를 갖고 있다. 직사각형 종이를 한번 꼬아 양끝을 붙이면 안과 겉을 구별할 수 없는 한쪽 면만 갖는 곡면이 된다.

 

뫼비우스의 띠는 1858년 독일의 수학자 A.F.뫼비우스가 처음으로 발견하여, 그 이름을 따서 명명되었다. 뫼비우스의 띠의 가장 큰 특징은 바로 안과 밖을 구분할 수 없는 도형이라는 것이다. 기다란 띠를 홀수 번 (일반적으로 한 번) 꼬아 끝을 이어서 붙이면 이처럼 안과 밖의 구분이 없는 뫼비우스의 띠를 만들 수 있다. 이 뫼비우스의 띠는 띠 안의 한 점에서 시작해서 띠를 따라 선을 긋다보면 반대방향을 지나 다시 원래 자리로 되돌아오게 되는 특징을 가지고 있다.

 

 

 

무한대와 뫼비우스의 띠

 

무한대 기호와 뫼비우스의 띠는 그 모양새나 의미가 너무나도 닮아있다.
뫼비우스의 띠를 잘 보면 무한대 기호처럼 꼬여있는 모습을 발견할 수 있으며, 안과 밖이 없어 영원히 돌고 돌게 되는 것이 꼭 무한대의 의미와 너무나도 일맥상통하기 때문이다.

 

 

그렇기에 많은 사람들은 무한대 기호가 뫼비우스의 띠 모양을 본 따 만들어진 것이라고 짐작하고 있을 것이다.
하지만 이는 엄밀히 말하자면 틀린 사실이다. 무한대 기호는 뫼비우스의 띠가 발견되기 200년 전 부터 사용되고 있었으니 말이다.

 

무한대를 표시하는 기호 ∞ 는 영국의 수학자 윌리스(John Wallis) 에 의해 1655년에 만들어졌으며, 뫼비우스의 띠는 그로부터 약 200년 뒤인 1858년 천문학자이자 수학자인 뫼비우스에 의해 발견되었다.

 

 

 

뫼비우스의 띠를 자르면

 

어릴 적에 학교에서 뫼비우스의 띠에 대해 배운 적이 있었다면, 분명 실제로 만들어서 잘라보는 실험도 해보았을 것이다. 일반적인 띠는 가운데 선을 중심으로 잘라내면 두 개의 고리로 나뉘어지지만, 뫼비우스의 띠는 신기하게도 2등분을 하면 길이가 두 배가 될 뿐, 고리는 둘로 나뉘지 않는다.

 

 

[ 2등분 하기 ]

 

 

뫼비우스의 띠를 2등분 하면, 한 번 꼬였던 띠가 네 번 꼬이게 된다.
짝수 번 꼬이게 됨으로써 결국 안과 밖의 구분이 생기면서 뫼비우스의 띠로서의 성질을 잃어버리게 된다.

 


[ 3등분 하기 ]

 

 

뫼비우스의 띠를 3등분 하면, 네 번 꼬이고 길이가 두 배로 된 띠 하나와, 기존 길이의 한 번 꼬여있는 띠가 서로 묶여서 존재하게 된다.
3등분의 고리 중 가운데를 중심으로 바깥에 위치하는 두 개의 고리가 앞서 본 2등분시와 같은 결과로써 길이가 두 배가 되고, 가운데 있던 고리는 그대로 남기 때문에 위처럼 두 가지의 고리로 나뉘게 되는 것이다.

 


[ 하트 만들기 ]

 

앞서 다룬 내용은 어느 정도 기억하거나 알고 있는 사람도 있을 것이다. 그래서 이번에는 하트를 만드는 방법도 함께 준비해보았다. 아래와 같은 4가지 과정을 통해 두 개의 하트를 만들어낼 수 있다.

 

 

1. 서로 반대방향으로 꼬인 뫼비우스의 띠 두 개를 준비한다.
2. 두 개의 띠를 +모양으로 교차시켜 붙인다.
3. 각각의 선을 이등분 하여 잘라낸다.
4. 서로 꼬여있는 두 개의 하트가 완성된다.

 

이 때 서로 같은 방향으로 꼬인 뫼비우스의 띠를 교차시켜 붙여 자를 경우에는, 위와 다르게 두 개의 띠가 모양도 다르며 각각 따로 떨어져서 존재하게 된다. 따라서 반드시 1번 항목의 서로 반대방향으로 꼬인 뫼비우스의 띠를 이용해야하는 것을 잊지 않길 바란다.

 

각각 반대방향으로 꼬인 뫼비우스의 띠가 서로 만나서 생각지도 못한 하트를 만들어내는 것을 보면, 마치 서로 다른 남녀가 만나서 사랑을 이루는 것과 같다는 생각을 하게한다. 뫼비우스의 띠는 의도하던, 의도하지 않았던 간에 여러모로 우리의 삶과 닮아있다.

 

 

 

우리 삶 속의 뫼비우스의 띠

 

뫼비우스의 띠는 단순히 흥미로운 실험에서 그치지 않고, 실생활에서도 유용하게 사용되고 있다.
단순히 기술, 산업분야 뿐만 아니라 예술분야에 이르기까지 다양한 장르에서 이 도형은 수없이 등장한다. 그 예를 일일이 들기 벅찰 정도로 각 분야 곳곳에서 우리는 뫼비우스의 띠를 만나볼 수 있다.

 

 

그 첫 번째로는 모두가 알고 있는 재활용마크를 예로 들 수 있다.

 

 

뫼비우스의 띠를 두 바퀴 돌고나면 다시 원래자리로 돌아오듯, 재활용 마크에서도 이를 동일하게 찾아볼 수 있다. 유리병이나 페트병 등이 재활용을 거쳐 다시 새 병으로 태어나는 것을 뫼비우스의 띠만큼 제대로 표현할 수 있는 것이 또 무엇이 있겠는가

 


또한 뫼비우스의 띠는 산업분야에서 큰 공헌을 세우고 있다.
테이프 녹음기에 뫼비우스의 띠를 적용하여, 녹음 시간을 2배로 늘리는 획기적인 결과를 마련해내는 경우가 있는가 하면, B.F. 굿리치 사는 재래식 벨트에 비해 수명이 2배로 긴 뫼비우스의 띠 형태의 컨베이어 벨트에 관한 특허를 받는 등 이러한 양면성은 다양한 분야에서 유용하게 활용되고 있다.

 


마지막으로는 미술작품이나 음악 등 다양한 예술분야에서도 뫼비우스의 띠를 만나볼 수가 있다.

 

 

에셔의 이 작품은 1963년에 뫼비우스의 띠를 그려낸 것이다.
뫼비우스의 띠 위에 있는 개미는 어디가 안이고 어디가 밖인지 모른 채 끊임없이 띠 위에서 순환하게 된다. 이러한 수학적 문제 제기를 통해서 에셔는 인간의 시지각과 착각, 사람들이 진실이라고 믿는 것에 대해 이야기하고자 했다고 한다.

 

또한, 오래 전 앨범이지만 젝스키스의 4집 앨범 에는 “뫼비우스의 띠”라는 제목의 노래가 수록되어 있다.
이 외에도 영화, 연극, 문학 등 다양한 분야에서 우리는 쉽게 뫼비우스의 띠를 만나볼 수 있다.

 

 

 

안팎이 구분되지 않아 모호한 뫼비우스의 띠 처럼, 우리의 삶도 뫼비우스의 띠에 비교해보면 어떨까 지금껏 한쪽면으로만 살아왔다면, 이제는 한바퀴를 돌아 반대편으로 나와서 나의 숨겨진 재능을 발견하고 발전시켜나가는 것도 좋을 것 같다.

 

뫼비우스의 띠 위를 걸으면 끝없이 나아갈 수 있듯이, 이 글을 보는 여러분들도 각자의 꿈을 향해 끝없이 달려나가길 소망해본다.

 

 

 

 

 


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